$Ax = b$의 해가 존재할 조건

• $b$가 열공간 안에 있어야함
• $A$의 행 선형조합이 영행을 생성하면, b도 같은 선형조합을 하였을때 0이 나와야한다.

$Ax=b$의 해를 구하는 방법

1. $x_{particular}$ 구하기

   • 소거를 한다.
   • 모든 자유변수를 0으로 놓는다. (가장 쉬운거 하나를 구하기 위함)
   • $Ax=b$를 피벗변수에 대해 푼다.

2. $x_{nullspace}$ 구하기

3. $x_{general} = x_{particular}+x_{nullspace}$ 로 일반해 $x$구하기

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   $\because$ $Ax_{particular} = b$

   $Ax_{nullspace} = 0$

   $A(x_{particular}+x_{nullspace}) = b$

   $\therefore$ $x_{particular}$에 영공간을 더해서 $Ax$는 여전히 b를 출력한다.

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4. 정리

   

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Particular Solution(특수해, 특정해) vs Special Solution(특별해) vs Unique Solution(유일해)

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랭크에 따른 해의 존재성

• $A_{m \times n}$의 랭크 $r$ 에 대하여 다음이 성립한다.

  (랭크 = 피벗의 개수)에서 → $r \leq m$, $r\leq n$

• $Ax = b$ 의 해

  • $r = n < m$ 일때 (full column rank)

    • 모든 열에 피벗이 존재하므로 자유변수는 없음
    • 자유변수가 없으므로 $N(A) = 0$
    • nullspace가 영벡터이므로 $x_{general} = x_{particular}$

    → 해가 존재한다면 full-column rank 일때는 유일해(unique solution)을 갖는다.

  • $r = m < n$ 일때 (full row rank)

    • 자유변수는 $(n-r = n-m)$개 존재한다.
    • 모든 행에 피벗이 존재하므로 피벗들의 조합으로 해를 무조건 만들어낼 수 있다.

    → $b$가 어떤 벡터이든 무조건 해가 존재한다.

  • $r=m=n$ 일때 (full rank)

    • 가역이다.

    → 무조건 유일해를 갖는다.

    • 모든 행에 피벗이 존재하므로 무조건 해가 존재한다.
    • nullspace가 영벡터이므로 해가 존재한다면 유일해를 갖는다.