소거
행렬에서 기본행연산(상수배, 덧셈)을 하더라도 행렬의 영공간은 변하지 않음
$Ax = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$
따라서소거(기본행연산)를 해보자
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \\ \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} = U$
두 개의 피벗밖에 갖지 않는다는 것을 확인했다. $Rank(A) = 2$
$Ax = 0$ 이든 $Ux = 0$이든 기본행연산만 했으므로 같은 영공간을 가질 것이다.
<aside> 💡
Rank: pivot의 개수, 열공간의 차원, 행공간의 차원
pivot columns
pivot variables: 피벗열에 곱해지는 $x_i$값
free colums
free variables
</aside>
영공간에는 특수해의 모든 조합이 포함된다.
특수해는 자유변수에 값을 대입하면 나온다. (자유변수 조합 당 하나)
$A_{mn}$에서 $rank(A)=r$일 때 자유변수는 $n - r$개가 있음
소거를 끝까지 다 한다.
피벗의 개수 = 랭크$r$
자유변수의 개수 = $n-r$
자유변수의 개수가 영공간의 차원이다.
