1. 벡터공간과 부분공간의 정의

벡터공간의 정의

• 원소들의 선형결합도 무조건 해당 벡터공간 속에 속해있다.

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벡터공간이란 기하학적인 것만 의미하지는 않는다.

1. 다항식들의 집합

   (예) $p(x) = ax^2 + bx + c$

   이 다항식들을 선형결합해도 여전히 이차다항식

   따라서 이 이차다항식들을 모아놓은 집합은 벡터공간

2. 행렬의 집합

   (예) $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

   이 행렬들을 선형결합해도 여전히 행렬

   따라서 이 행렬들을 모아놓은 집합은 벡터공간

3. 함수의 집합

   (예) 아래의 특성을 갖는 함수들의 집합은 벡터공간을 이룸

   $f(0) = 0$

   $(f_1+f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x)$

   $(cf)(x) = cf(x)$

→ 따라서 ‘벡터’란 포괄적으로 보면 다항식, 행렬, 함수 등 여러 곳에 적용될 수 있는 개념이다.

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부분공간의 정의

1. 벡터공간의 부분집합이다.
2. 영벡터를 포함한다. (공집합 아님을 보장)
3. 덧셈에 대해 닫혀있다.
4. 스칼라 곱에 대해 닫혀있다.

2. 부분공간의 합집합과 교집합

$R^3$의 부분공간 평면 $P$와 직선 $L$ 에 대하여

• $P \cup L$ 은 부분공간일까? (X)
• $P \cap L$ 은 부분공간일까? (O)

어떤 임의의 부분공간 $S$ 와 $T$ 에 대하여

• $S\cup T$ 은 부분공간일까? (보장못함)

• $S\cap T$ 은 부분공간일까? (O)

  

3. $Ax=b$ 를 이해하기