$A_{m \times n}$의 네가지 핵심 부분공간 ($rank(A) =r$)

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• 열공간 $col(A)\subset \mathbb{R}^m$
  • 뜻 : Ax가 생성할 수 있는 공간
  • 기저 : $A$의 피벗열들 위치의 기존 열들
  • 차원 : $r$ (피벗개수)
• 영공간 $null(A)\subset\mathbb{R}^n$
  • 뜻 : $Ax = 0$ 을 만족시키는 입력 벡터 $x$ 의 집합
  • 기저 : $Ax=0$ 의 특별해들
  • 차원 : $n-r$ (자유변수의 개수)
• 행공간 $row(A)=col(A^T)\subset \mathbb{R}^n$
  • 기저 :
    • $A^T$의 피벗열들
    • $rref(A)$의 영벡터가 아닌 행들 ($A$의 열은 서로가 독립임을 보장할 수 없음)
  • 차원 : r
• 좌영공간 $leftnull(A)=null(A^T)\subset\mathbb{R}^m$
  • 기저 :
    • $A^T$의 특별해들
    • A를 U로 만드는 E에서 영벡터를 만드는 행들 (차원정리에 의해 기저개수가 충족됨을 확인할 수 있음)
  • 차원 : $m-r$ (자유변수의 개수) </aside>

알아두면 좋은것 :

• $C(A^T) \perp N(A)$ : 행공간과 영공간은 직교한다.
• $C(A) \perp N(A^T)$ : 열공간과 좌영공간은 직교한다.

차원정리 (rank-nullity threom)

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• 열관점

  $dim(col(A)) + dim(null(A)) = n$

• 행관점

  $dim(col(A^T))+ dim(null(A^T)) = m$

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행공간

정의 : 행벡터들의 선형조합으로 만들어낼 수 있는 공간

접근 : $row(A) = col(A^T)$

좌영공간

정의

$A^Ty=0$ → $y^TA = 0$

행렬의 왼쪽에 전치를 곱했을때 0이 나오는 벡터의 집합

그냥 $A^Ty=0$ 즉, 전치행렬의 영공간으로 생각하는게 낫다.

구하는방법

$EA = rref(A)$ 를 만족시키는 $E$를 찾아보자.

$rref(A)$에 영행이 있다면 그 영행을 만드는 $E$의 행이 영공간의 기저를 나타낸다

$col(A) \neq col(rref(A))$

$row(A) = row(rref(A))$

기본행연산들은 행공간은 보존하지만 열공간은 보존하지 않는다.