$A_{m \times n}$ 에 대하여 $Ax = b$ 의 해의 개수를 조사해보자.

해의개수를 생각할 때 다음을 참고하면 도움이 된다.

• $dim(C(A))+dim(N(A)) = n$
• $x_{general} = x_p + x_0$

이를 통해 생각해보면 다음 두개가 해의 개수를 결정함을 알 수 있다.

• $b \in C(A)$ 여부

• $dim(C(A))=rank(A) = n$ 여부

  → $rank(A)$와 $x_0$의 차원 = $dim(N(A))$과 연결되어있기 때문에

$Ax=b$ 의 해의 개수

• 정방시스템(m=n)

  • 0개 : $b \notin C(A)$

  • 1개 : $b\in C(A)$, $r = n$ (가역행렬, full rank)

    → (참고) $r=n$ 이면 $b \in C(A)$ 자동성립

  • $\infin$개 : $b \in C(A)$, $r<n$ (비가역행렬, rank deficient)

• 미결정시스템(m<n)
  • 0개 : $b \notin C(A)$
  • $\infin$개 : $b \in C(A)$
• 과결정시스템(m>n)

  • 0개 : $b \notin C(A)$

    → 소거시 영행에 대응되는 b의 원소가 적어도 하나 0이 아닌 경우

  • 1개 : $b \notin C(A)$, $r=n$ (full column rank)

  • $\infin$개 : $b \in C(A)$, $r < n$ (rank deficient)