실수대칭행렬 $A$에 대하여

• $A$의 고윳값은 모두 실수이다.

• 고유벡터는 모두 직교한다.

  • 고유벡터는 모두 선형독립이다. (기하적중복도 = 대수적중복도)
  • 고윳값이 서로 다를 때는 무조건 고유벡터 직교
  • 고윳값이 같을 때는(중근) 직교하도록 설정할 수 있음

  증명

  $\lambda_1 v_1^T v_2 = (\lambda_1 v_1^T) v_2 = (\lambda_1 v_1)^T v_2 =
  (A v_1)^T v_2 = v_1^T A^T v_2 = v_1^T A v_2 = v_1^T \lambda_2 v_2 = \lambda_2 v_1^T v_2$

  $\lambda_1 v_1^T v_2 = \lambda_2 v_1^T v_2$

  $(\lambda_1 - \lambda_2) (v_1^T v_2) = 0$

  결론

  • $v_1^T v_2 = 0$ (고윳값이 다르다면 무조건 고유벡터 직교한다)

  • $\lambda_1 = \lambda_2$

    고윳값이 같을 때는 왜 직교하도록 설정할 수 있는가?

    같은 고윳값을 가지는 선형독립 벡터 $v_1, v_2$가 있을때,

    $Av_1 = \lambda v_1$, $Av_2 = \lambda v_2$

    $w = c_1v_2 + c_2v_2$ 라고 해보자. (두 고유벡터의 선형결합으로 새로운 벡터를 만듦)

    $\begin{aligned} Aw &= A(c_1 v_1 + c_2 v_2) \\ &= A(c_1 v_1) + A(c_2 v_2) & \text{(분배 법칙)} \\ &= c_1 (Av_1) + c_2 (Av_2) & \text{(스칼라는 앞으로)} \\ &= c_1 (\lambda v_1) + c_2 (\lambda v_2) & \text{(전제 조건 1, 2 대입)} \\ &= \lambda (c_1 v_1 + c_2 v_2) & \text{($\lambda$로 묶기)} \\ &= \lambda w \end{aligned}$

    즉, $w$도 고윳값 $\lambda$에 대한 고유벡터이다.

    즉, 내가 같은 고윳값을 가지는 두 고유벡터를 선형결합해서 만든 벡터도 같은 고윳값을 가지는 고유벡터가 된다.

    설령 내가 알아낸 고유벡터가 직교하지 않더라도, 같은 고윳값을 가지는 고유벡터들을 그람슈미트 과정을 통해 만든 직교 벡터로 만들면, 여전히 같은 고윳값에 대한 고유벡터이다.

    정리하면, 등방 스케일링의 경우 해당 고유벡터들이 생성하는 공간 내의 모든 벡터들이 고유벡터가 된다.

    따라서, 실수대칭행렬에서 같은 고윳값을 공유하는 고유벡터의 경우 무조건 직교하도록 설정할 수 있다.

실대칭행렬은 무조건 직교대각화가 가능하다.

$A = Q \Lambda Q^T =

\begin{bmatrix} q_1 & q_2 & q_3 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} q_1^T \\ q_2^T \\ q_3^T \end{bmatrix} \\

\lambda_1 q_1 q_1^T + \lambda_2 q_2 q_2^T + \lambda_3 q_3 q_3^T$

실대칭행렬이 실수 고윳값을 갖는 이유

증명

$Ax=\lambda x$ … (1)

양변에 켤레를 취하면

$\bar{A}\bar{x} = \bar{\lambda}\bar{x}$

$A\bar{x} = \bar{\lambda}\bar{x}$

양변에 전치를 취하면

$\bar{x}^T A^T = \bar{x} \bar{\lambda}$

$A$는 대칭행렬이므로

$\bar{x}^T A = \bar{x} \bar{\lambda}$ … (2)

(1) 에 $\bar{x}^T$를 양변에 곱하면

$\bar{x}^TA{x} = {\lambda} \bar{x}^T {x}$

(2) 에 ${x}$를 곱하면

$\bar{x}^TA{x} = \bar{\lambda} \bar{x}^T {x}$

${\lambda} \bar{x}^T {x} = \bar{\lambda} \bar{x}^T {x}$

$(\lambda - \bar{\lambda}) \bar{x}^T {x} = 0$

$\therefore \lambda = \bar{\lambda}$