구의 방정식

• $\mathbf{x}^T \mathbf{x} = r^2$

  타원체와의 통일성을 위해 $\mathbf{x}^T \mathbf{I} \, \mathbf{x} = r^2$ 이라고 봐도 된다.

• 전개

  $\mathbf{x} = (x,y,z)^T$로 전개하면 $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$이 된다.

타원체의 방정식

• $\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = C$

• 2D에서의 전개

  $\mathbf{x}^T A\mathbf{x}

  \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = ax^2 + 2bxy + cy^2$

  • 마할라노비스 거리의 제곱에 비례해서 증가하는 함수
  • $A$가 양의 정부호 행렬일 경우 등고선 ($= C$) 를 그리면 타원이 됨
  • 비혼합항 : 축 방향으로 증가하는 속도를 결정(빨라지면 타원의 해당 방향 축이 짧아짐)
  • 혼합항 : $xy$ 평면에서의 회전을 담당
    • $b=0$ : 축이 x,y축으로 정렬된 타원체
    • $b>0$ : 1,3 사분면쪽이 줄어들고, 2,4 사분면쪽이 늘어남 (타원이 시계방향으로 회전)
    • $b<0$ : 1,3 사분면쪽이 늘어나고, 2,4 사분면쪽이 줄어듦 (타원이 시계반대방향으로 회전)

• 3D에서의 전개

  $\mathbf{x}^TA\mathbf{x}

  \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b & d \\ b & c & e \\ d & e & f \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}

  ax^2 + cy^2 + fz^2 + 2bxy + 2dxz + 2eyz$

  • 마할라노비스 거리의 제곱에 비례해서 증가하는 함수
  • $A$가 양의 정부호 행렬일 경우 등고면 ($= C$) 을 그리면 타원체가 됨
  • 비혼합항: 축 방향으로 증가하는 속도를 결정(빨라지면 타원의 해당 방향 축이 짧아짐)
  • 혼합항:
    • $2bxy$ : $xy$ 평면에서의 회전을 담당
    • $2dxz$ : $xz$ 평면에서의 회전을 담당
    • $2eyz$ : $yz$ 평면에서의 회전을 담당

• 고윳값분해를 통한 타원체 해석

  • 주축정리 : 혼합항이 있더라도, 좌표축을 적절히 회전시키면 모든 혼합항이 사라지고, 축 정렬 타원체로 만들 수 있다.

    $\mathbf{x}^TA\mathbf{x}

    \mathbf{x}^T (Q \Lambda Q^T)\mathbf{x}

    \mathbf{(Q^Tx)}^T \Lambda \mathbf{(Q^Tx)}

    \mathbf{y}^T \Lambda \mathbf{y}$

  • 회전된 좌표축 상에서는 혼합항은 없어지고, 비혼합항만 남게됨

이차곡선으로의 확장

$\mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{B}^T \mathbf{x} + C$

• $A$ : 그래프의 모양을 결정
• $B$ : 그래프 위치의 평행이동 (중심점 평행이동)
• $C$ : 함숫값을 전부 C(스칼라)만큼 변화시킴

이렇게 생각해볼 수도 있다

$\mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{B}^T \mathbf{x} + C \implies (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T A (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) + k$