도함수, 이계도함수의의 확장

• 스칼라→스칼라 함수
  • f’
  • f’’
• 스칼라→벡터 함수
  • r’
  • r’’
• 벡터→스칼라 함수
  • $\nabla f$ → $D_u f= \nabla f \cdot \vec{u}$
  • $H$
• 벡터→벡터 함수
  • $J$
  • 3차 텐서(헤시안텐서) → 연구에서 많이 쓰이지는 않는다

직교행렬과 대칭행렬

• 직교행렬
• 행렬과 대칭성

  • 대칭행렬 symmetric matrix (특정 방향으로의 스케일링)

  • 반대칭행렬 skew-symmetric matrix(회전생성자)

  • 어떤 임의의 정방행렬 A를 스케일링+회전으로 영향력을 분해하고 싶다면 대칭+반대칭으로 분해하면 됨

  • $A = A_s + A_a, \quad A_s = \tfrac{1}{2}(A + A^\top), \quad A_a = \tfrac{1}{2}(A - A^\top)$

    • $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$
    • $A_s = \frac{1}{2}(A + A^\top) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2+2 & 3+1\\ 1+3 & 2+2 \end{bmatrix}

    \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$

    • $A_a = \frac{1}{2}(A - A^\top) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2-2 & 3-1\\ 1-3 & 2-2 \end{bmatrix}

    \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$

    • x=y 방향으로는 4배 늘어남,
    • x=-y 방향으로는 0배 (완전히 눌림).

이차형식

• 이차형식은 행렬과 일대일 관계가 아님

  만약 A가 비대칭이라면, 이 이차형식은 항상 다음과 같이 단순화됩니다:

  $\mathbf{x}^\top A \mathbf{x} = \mathbf{x}^\top \left( \frac{A + A^\top}{2} \right) \mathbf{x}$

• 이차형식은 대칭행렬과 일대일 관계

• 하지만 에너지는 대체로 연속함수이므로, 강성행렬 K는 대칭행렬이 될 것임 (클레로의 정리)

• $\mathbf{x}^\top A \mathbf{x} = \mathbf{x}^\top (A_s + A_a) \mathbf{x} = \mathbf{x}^\top A_s \mathbf{x}+\mathbf{x}^\top A_a \mathbf{x} = \mathbf{x}^\top A_s \mathbf{x} + 0$

  → 이차형식에서 반대칭성분은 소거된다. 즉, 에너지에서 강성의 회전성분은 영향을 주지 않는다.

활용

퍼텐셜 에너지

$V(x) \approx V(x_0) +\underbrace{\frac{1}{2}(x - x_0)^\top H (x - x_0)}_{\text{이차형식}}$

• H: 에너지(스칼라함수)에 대한 헤시안(이계도함수)

강성행렬(stiffness)