비압축성 가정

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$\nabla \cdot u = 0$

$\rho \frac{d\vec{u}}{dt} = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{u} + \vec{f}$

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• f = ma에서의 유도

  • $m\vec{a} = \vec{f}$
  • $\rho \frac{d\vec{u}}{dt} = \vec{f}$ (유체는 밀도로!)
    • $\frac{d \vec{u}}{dt} = \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + u \cdot \nabla \vec{u}$
    • $\frac{d \vec{u}}{d t} = \frac{\partial \vec{u}}{\partial t}+ \frac{\partial \vec{u}}{\partial x} \frac{d x}{d t}+ \frac{\partial \vec{u}}{\partial y} \frac{d y}{d t}+ \frac{\partial \vec{u}}{\partial z} \frac{d z}{d t}$
    • 이건 $\vec{u}(t,x,y,z)$ t도 속도의 변수여서 그렇다.
  • $\rho \frac{d\vec{u}}{dt} = -\nabla p + \mu \nabla ^2 \vec{u} + \vec{f}$ ($\vec{f}$는 외력의 합력이고 중력밖에 없을 땐 $\rho g$를 쓰면 됨)

• $\nabla \cdot \vec{u} = 0$ 의 의미

  • $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho\vec{u}) = 0$ (연속방정식 = 질량보존)
  • 비압축성이라는 가정하에 ($\rho$는 상수)
    • $\frac{\partial \rho}{\partial t}$ = 0
    • $\nabla \cdot (\rho \vec{u}) = \rho \nabla \cdot\vec{u}$
  • 양변 $\rho$로 나누면 $\nabla \cdot \vec{u} = 0$
  • 비압축성이라는 가정하에 질량보존식을 정리한 것