연속방정식 (질량보존)

• $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{u}) = 0$

물질도함수 : 유체 입자가 이동하면서 자기 물리량이 어떻게 변하는지 보는 것

• $\frac{D}{Dt} = \frac{d}{dt}$

  • 물리량 : (t,x,y,z)에 관한 함수
  • $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z) = (\frac{\partial x}{\partial t},\frac{\partial y}{\partial t},\frac{\partial z}{\partial t})$

• 물리량이 스칼라 $\theta$인경우

  • $\frac{d \theta}{dt}$
  • $= \frac{\partial \theta}{\partial t} + \frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial \theta}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial \theta}{\partial z}\frac{dz}{dt}$
  • $= \frac{\partial \theta}{\partial t} + \frac{\partial \theta}{\partial x}v_x + \frac{\partial \theta}{\partial y}v_y + \frac{\partial \theta}{\partial z}v_z$
  • $= \frac{\partial \theta}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla \theta$
  • $= \frac{\partial \theta}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \theta$
    • $\vec{v}\cdot \nabla \theta = (\vec{v} \cdot \nabla) \theta = D_{\vec{v}}\theta$ : 스칼라함수의 방향도함수를 $v$의 크기만큼 곱한 것
    • 밀도 : $\frac{D\rho}{Dt}=\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{u} \cdot \nabla \rho$

• 물리량이 벡터 $\vec{A}$인 경우

  • $\frac{d\vec{A}}{dt}$
  • $= \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}
  • \frac{\partial \vec{A}}{\partial x} \frac{dx}{dt}
  • \frac{\partial \vec{A}}{\partial y} \frac{dy}{dt}
  • \frac{\partial \vec{A}}{\partial z} \frac{dz}{dt}$
  • = $\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla)\vec{A}$
    • $(\vec{v} \cdot \nabla)\vec{A} = D_{\vec{v}}\vec{A}$ : 벡터함수의 방향도함수를 v의 크기만큼 곱한 것
    • 속도 : $\frac{D\vec{u}}{Dt}=\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla )\vec{u}$

• 정리

  물리량 무관하게

  $\frac{D \theta}{Dt}= \frac{\partial x}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) x$ 로 적용하면 된다.

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$x,y,z$ 가 과연 $t$ 에 관한 함수일까?

• 오일러 관점 : 특정 시간, 특정 장소에 물리량이 얼마인가?
  • x,y,z,t 모두 독립변수
• 라그랑주 관점 : 특정 시간의 해당 입자의 물리량이 얼마인가?
  • 입자의 위치는 시간에 관한 함수이므로 x,y,z는 t에 관한 함수

→ 물질도함수는 내가 정한 한 입자의 관점에서 물리량의 변화를 기술한 식

따라서 물질도함수에서 x,y,z는 t에 관한 함수

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$(\vec{u} \cdot \nabla) \cdot \vec{A}$ 가 의미하는게 뭘까?

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물리량이 밀도라고 하고 전개하면

• $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{u}) = 0$
• $\frac{\partial \rho}{\partial t} + (\vec{u}\cdot \nabla \rho + \rho \nabla \cdot \vec{u}) = 0$
• $(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{u} \cdot \nabla \rho) + \rho \nabla \cdot \vec{u} = 0$
• $\frac{D\rho}{Dt} + \rho \nabla \cdot \vec{u} = 0$
• $\frac{D\rho}{Dt} = - \rho \nabla \cdot \vec{u}$

이 식이 연속방정식을 물질도함수 형태로 나타낸 식

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참고 (발산 연산자의 분배법칙)

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